反比例函數(shù)是我們初中學(xué)習(xí)的第二大函數(shù)，它的特征是兩變量的乘積是一個定值。由于兩變量的乘積是一個定值，所以兩個變量的大小變化是相反的，自變量在同一支曲線上取值時，自變量越大，函數(shù)值就越小，自變量越小，函數(shù)值越大，這可能為什么叫它反比例函數(shù)的原因吧。

反比例函數(shù)的圖象是兩支曲線，不同于一次函數(shù)的圖象是一條直線，由于兩支曲線放在一塊能夠完全重合，并且分居于兩個兩個相對的象限內(nèi)，就象兩個雙胞胎姐妹相鄰而望，所以我們稱反比例函數(shù)是函數(shù)中的雙胞胎姐妹，屬于姊妹花。

下面我們看一下反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識吧。

一、定義：

二、圖象與畫法

畫法：

（1）由解析式確定x，y的對應(yīng)值，在表格中列出；

（2）把對應(yīng)的x，y值作為點(diǎn)坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系描出；

（3）用平滑的曲線描出來

注意問題：

①x，y對應(yīng)值對稱取值；

②取值要足夠的多；

③連線用平滑曲線，注意延伸。

圖象特征：

（1）反比例函數(shù)的圖象是兩支曲線，放在一起能夠完全重合，兩支曲線向兩方無限延伸接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不會和坐標(biāo)軸相交；

（2）每一支曲線都是軸對稱圖形，對稱軸有一條，兩支曲線是軸對稱的位置關(guān)系，對稱軸有兩條；

三、圖象與性質(zhì)

當(dāng)k>0時，雙曲線在一三象限呈對稱分布，對稱軸為一三象限的角平分線和二四象限的角平分線，圖象從左向右看呈下降趨勢，在每個象限內(nèi)（或每支曲線上或當(dāng)x>0或x<0時）是減函數(shù)；

當(dāng)k<0時，雙曲線在二四象限呈對稱分布，對稱軸為一三象限的角平分線和二四象限的角平分線，圖象從左向右看呈上升趨勢，在每個象限內(nèi)（或每支曲線上或當(dāng)x>0或x<0時）是增函數(shù)

把上面的性質(zhì)歸納概括起來，用下面的表格表示更直觀。

四、k的意義

（1）代數(shù)意義：xy=k（k≠0）

兩變量的乘積為定值即在圖象上所有點(diǎn)坐標(biāo)乘積相等

（2）幾何意義：面積與對稱

過雙曲線上一點(diǎn)分別向x軸和y軸作垂線段和坐標(biāo)軸構(gòu)成一個矩形，那么這個矩形的面積是|k|.根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義，兩條垂線段的長分別是|x|和|y|，而矩形面積是長×寬也就是|x|·|y|，即|xy|=|k|.從這里可以看出，無論動點(diǎn)移動到曲線的哪個位置，矩形面積都是|k|.

如果過曲線的一動點(diǎn)作任意一個坐標(biāo)軸的垂線段構(gòu)成一個直角三角形，無論動點(diǎn)怎么運(yùn)動，直角三角形的面積為定值|k|/2.

如果過雙曲線上一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線段，另外一個坐標(biāo)軸上選一動點(diǎn)，無論點(diǎn)怎么運(yùn)動，三角形的形狀怎么樣變化，三角形的面積還是|k|/2.

利用|k|的意義和對稱性確定四邊形和三角形的面積

五、與一次函數(shù)的關(guān)系

（1）正比例函數(shù)與雙線交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，即交點(diǎn)的坐標(biāo)互為相反數(shù)；

（2）直線和雙曲線相交時，交點(diǎn)坐標(biāo)就是對應(yīng)函數(shù)解析式組成的方程組的解，當(dāng)方程組無解時便沒有交點(diǎn)；

（3）待定系數(shù)法

（1）利用方程確定反比例函數(shù)解析式，已知一個點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）利用k的幾何意義確定k.

四、應(yīng)用

（1）反比例函數(shù)在生活中的應(yīng)用，如物理，工程，行程等；

（2）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題目；

（3）比較反比例函數(shù)值的大小，注意同一支曲線。