根號里面的數怎么算出來_根號里面數字怎么算的

近日，在抖音平臺上，某位女留學生“亞洲人數學能力其實很差”的觀點引起了廣泛爭議。她在視頻中提到：

就是這個出國留學以后啊，我發現一個我誤解多年的事情，亞洲人的數學其實很差，雖然很多人都在吐槽外國人的計算能力。

舉個例子，根號二等于多少？脫口而出1.414，π約等于3.14，但是你有思考過這個是怎么推導出來的么？

我們只是知道用公式解題，卻不知道為什么能用這個公式。

這也是為什么我高考數學140，但是我真的一點也不了解數學，知其然不知所以然，我只是擅長解題，但從不追究真理。

雖然這位同學的觀點有失偏頗，但她至少提出了一個有價值的問題：“根號二等于1.414是怎么推導出來的”。

今天我們就來聊聊這個問題，與各位讀者分享根號二的前世今生。

在中文互聯網上，根號二常與“第一次數學危機”聯系在一起。一種流行的說法是，畢達哥拉斯學派下的成員希帕索斯，偶然間根據老師的“畢達哥拉斯定理”（即勾股定理），發現邊長為1的正方形對角線長度（即根號2）無法用有理數表示。

這一發現違背了畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的教義，因此希帕索斯被同門丟進海里。但畢達哥拉斯學派無法掩蓋根號2的存在，從而“萬物皆數”的數學大廈轟然倒塌，引發了“第一次數學危機”。

此故事是否是歷史的真相已無從考證。不過，可以確定的是，希帕索斯并非第一個發現根號2的人。

在希帕索斯之前的一千多年，約公元前1800年至1600年間，古巴比倫人就發現了根號2。

在編號為YBC 7289的古巴比倫陶泥板上，畫著一個正方形和它的兩條對角線。對角線長度用一串數字1,24,51,10標注。由于古巴比倫采用六十進制，這串數字可以譯作以下公式：

換句話說，古巴比倫人知道邊長為1的正方形，其對角線長度大約是1.41421，計算精確到了小數點后5位。

古巴比倫人的發現距今約3700年，了不起的成就。

據數學家推斷，古巴比倫人可能用的是下述算法（因而被稱為“巴比倫法”）算出根號二的近似值。

令

; 接下來，使用以下遞推公式計算：

：

比如：

那么，a?，a?，a?，a?的數值依次是：

可以看到，a?的數值已經精確到小數點后11位，與根號2的精確值非常接近，而我們僅僅做了四次迭代計算而已。

使用巴比倫方法，Ron Watkins在2016年將根號2的數值計算到小數點后十萬億（10^13）位。

小學課本上介紹根號二的時候，其實也解釋了

的原因：

對于小學生來說，這樣的理解已經足夠深刻。不過，如果采用這種方法，猜出1.4、1.41、1.414還算容易，而接下來要計算1.4142, 1.41421, 1.414213, …… 則頗費功夫，效率遠不如巴比倫法。

巴比倫法看上去非常有效，不過善于思考的讀者朋友們或許已經開始犯嘀咕，“憑什么這樣算出來的就是根號2呢？”

問得好。要回答這個問題，需要用到相當深刻的數學原理。以下我們長話短說，盡量用人話來解釋。

巴比倫法的遞推公式是

；倘若我們令

并代入，那么

化簡得

毫無疑問

的一個解。

我們得到了

，而這不是一個巧合。事實上，

是遞推式

的一個不動點。

換句話說，如果

, 那么

，保持“原地不動”，故名為“不動點”。

根據巴拿赫不動點定理，由于此遞推公式在

區間內為一壓縮映射，數列{a_n}將收斂于該區間內的不動點

。這就是巴比倫法能不斷逼近根號2精確值的原因。

（注：篇幅所限，省略巴拿赫不動點定理的具體描述、壓縮映射的定義、遞推公式為壓縮映射的推導過程）。

巴比倫法其實是牛頓法的一個特例。在實際求解形如f(x)=0的方程的過程中，我們并不總有簡單的方法直接求出x的精確數值，而需要近似地求x的數值解。

牛頓法就是最常用求數值解的方法之一，其遞推公式如下：

其中，

表示函數f在x_n處的導數。

牛頓法的本質是不斷求函數f(x)在x_n處的切線與x軸的交點，以達到逼近正解的目的。下面這張動圖形象地解釋了牛頓法的原理。

對于求解根號2這個特例，其實我們求的是

這個方程的正數解。那么我們可以記

代入牛頓法的一般遞推公式，可得

這還原了巴比倫法的遞推公式。

雖然小學生都知道根號2約等于1.414，但推導過程其實已經超出了中學數學的范圍——不僅是中國中學數學課本，也包括全世界的數學課本。

無論是牛頓法還是巴拿赫不動點定理，都只有在大學的數學課中才會涉及到。因此，中國學生不了解根號2的推導原理，而英國學生、美國學生、法國學生也不了解。這是一件非常正常的事，并不能說明“亞洲人的數學能力其實很差”。

本文的目的，則是讓更多的讀者了解，

究竟是怎么來的。希望各位讀者閱讀本文后有所收獲。